横截条件

横截条件(Transversality condition)也称边界条件，实际上是库恩—塔克条件(the Kuhn-Tucker conditions)的极限形式。让我们先来看一个很简单的最优化问题。

假设一个只能再活两期(1和2期)的消费者，每一期都有禀赋\(\omega_t\)，在0期时遗留下来债券为\(b_0\)，可以借贷，没有劳动。该消费者的最优化问题为(贴现到第0期)：

可是这些条件是否足够我们求得所需的最优解呢？答案是否定的，原因在于如果对于第2 期，也就是最后一期的借贷没有限制的话，则该消费者一定会设法借入无穷的债务，即令\(b_2=-\infty\)，由此来达到更高的效用。因此，我们必须对\(b_2\)做出一个“合理”的限制，来确保可以得到符合现实的解。一个很自然的限制¹是\(b_2\geqslant 0\)，加上这个条件以后，我们再来求解这个最优化问题。

写出拉格朗日函数： \[ \begin{aligned} \mathcal{L}=\beta u(c_1)+\beta^2u(c_2)& +\beta\lambda_1[\omega_1+(1+r_0)b_0-b_1-c_1]\\ & +\beta^2\lambda_2[\omega_2+(1+r_1)b_1-b_2-c_2] \end{aligned} \] 对于\(b_2\geqslant 0\)的Kuhn-Tucker条件为： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b_2}\leqslant 0; \quad b_2\cdot\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b_2}=0 \] 上式中的第二个条件即为\(\beta^2\lambda_2b_2=0\)，如果是三期的消费者，可以写出该条件为\(\beta^3\lambda_3b_3=0\)，继续推广下去，到无穷期时，就成为横截条件： \[ \lim_{t\to\infty}\beta^t\lambda_tb_t=0 \]