原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/20146048
这篇文章是之前在 Che-lin Su 在经济学上有哪些突出的研究成果？ - 慧航的回答里面承诺过的。在这里我将介绍一下已逝的经济学家 Che-Lin Su 最重要的一篇文章，《Constrained optimization approaches to estimation of structural models》。 这篇文章很短，正文只有 16 页，然而任何优秀的论文都不是以页数论英雄的。
在计算结构式模型的估计（structural estimation）的时候，计算的复杂度通常很大，而这种难度经常是由于各种不动点迭代（fixed-point iteration）造成的。典型的例子比如：
- 动态规划中求解 policy function
- 求解一个 game 的 Nash equilibrium
- 求解一个一般均衡
- BLP 中通过市场份额倒推产品特征的效用
在这些例子里面都涉及到不动点的迭代。然而，考虑到当我们估计这个模型的时候，为了计算极大似然、广义矩估计，我们必须给定一个参数，做一次不动点迭代，然后计算目标函数值，再给定新的参数，再做不动点迭代，然后计算目标函数值。这个过程不停重复，最终最优化算法会收敛到最优点。
然而这个过程是非常非常耗费时间的：本身不动点迭代就是非常耗费时间的，更何况外面还套着一层最优化的迭代。因而这种结构模型一般运算时间都非常的长。
怎么办呢？Che-Lin Su 想出了一个办法：根本不需要进行不动点迭代，把他看成是一个最优化的约束就好了。而约束最优化是运筹学里面早就很成熟的方法。
数学上的描述就是，给定参数\(\theta\)、内生变量\(\sigma\)，而给定参数，模型可以通过一阶条件、贝尔曼方程、市场均衡条件等计算出内生变量。假设这两个变量之间存在如下关系：
\[h(\theta,\sigma)=0\]
进而，我们观察到的数据为\(X=\{x,d\}\)，其中\(x\)为外生变量，\(d\)为内生变量。
在此之前的做法一般为不动点的迭代，即 NFXP（nested fixed-point）方法，即给定参数\(\theta\)，求解\(\hat{\sigma}\)，然后计算极大似然函数：
\[\hat{\theta}=\arg\max_{\theta} \frac{1}{M}L(\theta,\hat{\sigma}(\theta);X)\]
注意这里\(\hat{\sigma}\)涉及到不动点迭代，再加上外面的最优化的迭代，迭代套迭代。
而 Che-Lin Su 提出，实际上没必要这么麻烦，只要把不动点迭代的部分作为最优化的约束就好了：
\[\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \max_{(\theta,\sigma)}\; \frac{1}{M}L(\theta,\sigma;X)\\ & \begin{aligned} s.t.\;\; & h(\theta, \sigma)=0 \end{aligned} \end{aligned} \right. \end{equation}\]这样，虽然最优化的维数增加了，然而节省了不动点迭代的时间。而 Su 证明了，以上的两种方法都是等价的。
在这篇文章中，Su 还给出了一个 dynamic discrete choice 模型的例子。
考虑一个公共汽车公司正在考虑要不要更新汽车引擎的决策问题。其决策是一个离散变量，d=1为更换，d=0为不更换。公司在某一期的效用函数为：
\[u(x,d,\varepsilon;\theta_1,RC)=\nu(x,d;\theta_1,RC)+\varepsilon(d)\]
\[ \nu(x,d;\theta_1,RC)=\left\{ \begin{aligned} -c(x;\theta_1),\;\text{if}\,d=0\\ -RC-c(0;\theta_1),\;\text{if}\,d=1 \end{aligned} \right. \]
其中\(x\)为里程数，\(RC\)为更换引擎的成本，\(c\)为给定里程数汽车的运营成本，\(\theta\)为参数。
公司的决策并非静态的，实际上公司必须考虑其决策对未来的影响，或者说公司应该考虑是这一期换，还是下一期换？因而公司的决策是一个动态的最优化：
\[\max_{d_t,d_{t+1},d_{t+2},\dotsc}\mathbb{E}\left[\sum^\infty_{\tau=t}\beta^{\tau-t}u(x_\tau,d_\tau,\varepsilon_\tau;\theta_1,RC)\right]\]
而根据动态规划的方法，可以通过以上效用函数定义值函数（value function），进而得到贝尔曼方程（Bellman equation）：
\[\mathrm{EV}(x,d)=\nu(x,d;\theta_1,RC)+\varepsilon(d)+\beta\int_{x^\prime}\mathrm{EV}(x^\prime)p_3(x^\prime+x,d;\theta_3)\,\mathrm{d}x^\prime\]
这个贝尔曼方程是公司决策的核心，当更换引擎的\(\mathrm{EV}\)大于不更换引擎的\(\mathrm{EV}\)，公司就会选择更换引擎。
而当我们看到数据，需要估计其中的参数时，逻辑是这样的：首先，给定一个参数的猜测，解出贝尔曼方程，得到公司的决策，再将这个预测的决策跟实际的决策比，如果足够接近，那么参数就对了，否则，按照一定规则，给出参数的新的猜测，继续比。
然而，这里面每一次给出新的参数，都要重新计算一次贝尔曼方程，而传统上贝尔曼方程是通过 value function iteration 的方法得到的，本质上就是一个不动点的迭代，速度较慢。而使用 Su 的方法，以上的贝尔曼方程可以不用每次给定新参数就迭代计算，而是将其看成是最优化的一个约束。这样，虽然最优化的参数变多了，但是却节省了每一步不动点迭代的时间。
最后，再次为这位年轻有为的经济学家哀悼。