临界点、正则点、临界值、正则值

出处：经济数学方法与模型, de la Fuente(2000), 朱保华 & 钱晓明(2003), p150-151.

在以后的讨论中，我们需要对函数的雅可比矩阵的秩作出假设，也就是对函数的导数作出假设。特别是，我们可以证明：若函数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)在\(x\)处可微，且导数矩阵\(\mathrm{D}f(x)\)的秩为\(m\)，则\(f\)的局部行为就可以由\(f\)的可微性决定。

下面介绍一些在后面将用到的概念。令\(f:\mathbb{R}^n\supseteq X\to\mathbb{R}^m\)（\(X\)是开集）是可微函数¹。若\(f\)在\(x\in X\)处的微分，即线性映射\(\mathrm{d}f_{x}\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)\)是满射，则称\(x\)是\(f\)的正则点（Regular Point）。若\(x\)不是\(f\)的正则点，即若\(\mathrm{d}f_{x}\)不是满射，则称\(x\)是\(f\)的临界点（Critical Point）。若\(y\in\mathbb{R}^m\)是某个临界点的像，则称\(y\)是\(f\)的临界值，否则称\(y\)是\(f\)的正则值。

可以看到，\(\mathrm{d}f_x\)是满射，即\(x\)是\(f\)的正则点的充要条件是导数\(\mathrm{D}f(x)\)的秩为\(m\)。因此，\(f:\mathbb{R}^n\supseteq X\to\mathbb{R}^m\)的临界点的集合为：

\[ C_f=\left\{\,x\in X;\,\text{rank}\,[\mathrm{D}f(x)]<m\,\right\} \]

\(f\)的临界值的集合为\(f(C_f)\)，正则值的集合为\(f(C_f)\)的补集，即\(\mathbb{R}^m\sim f(C_f)\)。可以看到：若\(y\)不是\(X\)中任意点的像，根据定义，正则值是那些不是临界值的点，则\(y\)是\(f\)的正则值，而\(y\)是临界值的充要条件是\(f^{-1}(y)\)至少包含一个临界点，这样\(f^{-1}(y)\)就不可能是空集。

这个定义将初等微积分中临界点的定义作了推广。若\(f\)是多元实值函数，我们刚才给出的临界点的定义等价于条件“梯度\(\nabla f(x)\)是零向量”，因为只有这种情形\(\nabla f(x)\)不能生成\(\mathbb{R}\)；若\(f\)是一元函数，条件为\(f'(x)=0\)，同样看到：当\(f\)是从\(\mathbb{R}^n\)到\(\mathbb{R}^n\)的函数时，\(\mathrm{D}f(x)\)是方阵，若\(|\mathrm{D}f(x)|=0\)，则\(x\)是临界点。

经济是正则的

出处：经济学拓扑方法, 王则柯(2001), p305.

设\(\pmb{p}\)是经济\(\varepsilon\)的一个均衡价格向量，即\(f(\pmb{p})=\pmb{0}\)，那么当\(\mathrm{Rank}[\mathrm{d}f_{\pmb{p}}]=n-1\)时，称均衡价格向量\(\pmb{p}\)是正则的（Regular）。如果每个均衡价格向量都是正则的，就说该经济\(\varepsilon\)是正则的²。

换言之，如果\(f(\pmb{p})=\pmb{0}\)时必有\(\mathrm{Rank}[\mathrm{d}f_{\pmb{p}}]=n-1\)，就说经济\(\varepsilon\)是正则的。

作为一般经济均衡问题微分方法的初步结果，我们有如下定理³：

均衡价格向量\(\pmb{p}\in\mathbb{S}_+^{n-1}\)正则当且仅当在\((\pmb{p},\pmb{0})\)，流形\(T\mathbb{S}_0^{n-1}\)和流形\(\text{Graph}\,f\)在流形\(T^{n-1}\)中横截。