起源

滤波一词起源于通信理论，它是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术。“接收信号”相当于被观测的随机过程，“有用信号”相当于被估计的随机过程。例如用雷达跟踪飞机，测得的飞机位置的数据中，含有测量误差及其他随机干扰，如何利用这些数据尽可能准确地估计出飞机在每一时刻的位置、速度、加速度等，并预测飞机未来的位置，就是一个滤波与预测问题。这类问题在电子技术、航天科学、控制工程及其他科学技术部门中都是大量存在的。历史上最早考虑的是维纳滤波，后来R.E.卡尔曼和R.S.布西于20世纪60年代提出了卡尔曼滤波。现对一般的非线性滤波问题的研究相当活跃。

经典滤波

经典滤波的概念，是根据傅立叶分析和变换提出的一个工程概念。根据高等数学理论，任何一个满足一定条件的信号，都可以被看成是由无限个正弦波叠加而成。换句话说，就是工程信号是不同频率的正弦波线性叠加而成的，组成信号的不同频率的正弦波叫做信号的频率成分或叫做谐波成分。

滤波器 只允许一定频率范围内的信号成分正常通过，而阻止另一部分频率成分通过的电路，叫做经典滤波器或滤波电路。实际上，任何一个电子系统都具有自己的频带宽度(对信号最高频率的限制)，频率特性反映出了电子系统的这个基本特点。而滤波器，则是根据电路参数对电路频带宽度的影响而设计出来的工程应用电路。

现代滤波

用模拟电子电路对模拟信号进行滤波，其基本原理就是利用电路的频率特性实现对信号中频率成分的选择。根据频率滤波时，是把信号看成是由不同频率正弦波叠加而成的模拟信号，通过选择不同的频率成分来实现信号滤波。

1. 当允许信号中较高频率的成分通过滤波器时，这种滤波器叫做高通滤波器。
2. 当允许信号中较低频率的成分通过滤波器时，这种滤波器叫做低通滤波器。
3. 设低频段的截止频率为fp1，高频段的截止频率为fp2:
   1. 频率在fp1与fp2之间的信号能通过其它频率的信号被衰减的滤波器叫做带通滤波器。
   2. 反之，频率在fp1到fp2的范围之间的被衰减，之外能通过的滤波器叫做带阻滤波器。

理想滤波器的行为特性通常用幅度-频率特性图描述，也叫做滤波器电路的幅频特性。

滤波问题及分类

对于滤波器，增益幅度不为零的频率范围叫做通频带，简称通带，增益幅度为零的频率范围叫做阻带。例如对于LP，从-w1到w1之间，叫做LP的通带，其他频率部分叫做阻带。通带所表示的是能够通过滤波器而不会产生衰减的信号频率成分，阻带所表示的是被滤波器衰减掉的信号频率成分。通带内信号所获得的增益，叫做通带增益，阻带中信号所得到的衰减，叫做阻带衰减。在工程实际中，一般使用dB作为滤波器的幅度增益单位。

按照滤波是在一整段时间上进行或只是在某些采样点上进行，可分为连续时间滤波与离散时间滤波。前者的时间参数集\(T\)可取为实半轴\([0,\infty)\)或实轴\((-\infty,\infty)\);后者的\(T\)可取为非负整数集\(\{0,1,2,\dotsc\}\)或整数集\(\{\dotsc,-2,-1,0,1,2,\dotsc\}\)。设$X=\{X_t\in T=\{Y,t\in T)\}\}$有穷，即其中\(X\)为被估计过程，它不能被直接观测；\(Y\)为被观测过程，它包含了\(X\)的某些信息。用表示到时刻\(t\)为止的观测数据全体，如果能找到中诸元的一个函数?(),使其均方误差达到极小，就称为\(X_t\)的最优滤波；如果取极小值的范围限于线性函数，就称为\(X_t\)的线性最优滤波。可以证明，最优滤波与线性最优滤波都以概率1惟一存在。对于前者，悯t就是\(X_t\)关于\(\sigma()\)(生成的\(\sigma\)域)的条件期望，记作对于后者，若进一步设均值\(E(X_t)\)呏\((EY_t)\)呏0,则悯t就是\(X_t\)在所张成的希尔伯特空间上的投影，记作如果\((X,Y)\)是二维正态过程，则最优滤波与线性最优滤波是一致的。这部分有错

为了应用和叙述的方便，有时还把上面的定义更细致地加以分类。设\(\tau\)为一确定的实数或整数，且考虑被估计过程。按照\(\tau=0,\tau>0,\tau<0\)，分别称为最优滤波、(\(\tau\)步)预测或外推、(\(\tau\)步)平滑或内插，分别为对应的误差与均方误差，而统称这类问题为滤波问题。滤波问题的主要课题是研究对哪些类型的随机过程\(X\)和\(Y\)，可以并且如何用观测结果的某种解析表示式，或微分方程，或递推公式等形式,表达出并进而研究它们的种种性质。此外，上面所指的一维随机过程\(X,Y\)，都可以推广为多维随机过程。